Научный журнал

Научное обозрение. Медицинские науки

ISSN 2500-0780

ПИ №ФС77-57452

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ихлов Б.Л. 1

---

1 Пермский государственный национальный исследовательский университет

Цель работы – построить математическую модель эпидемии коронавируса COVID-19 (SARS-CoV-2), предложить организационные и технические способы ограничения ее распространения. Отмечено, что все используемые модели распространения эпидемии COVID-19 опираются исключительно на статистические данные, которые не полны по множеству причин, в то же время не рассмотрены главные физические факторы распространения эпидемии, такие как миграции через государственные границы и передача вируса с пересекающими границы товарами. Скомпонованы данные о плотности населения в регионах, охваченных эпидемией COVID-19, тестировании, числе летальных исходов на душу населения, скорости заражения и об объеме импорта из стран – очагов эпидемии. Отмечены корреляции между числом зараженных и числом тестов, между числом зараженных и плотностью населения, между числом зараженных и объемом импорта из стран – очагов заражения. Сделан вывод о возникновении пандемий нового типа, являющихся следствием урбанизации и глобализации. Построена временная модель развития эпидемии в Китае и России, согласующаяся с данными о росте числа зараженных в США. Выведено общее глобализационное уравнение развития эпидемий. На его основе дан ряд рекомендаций.

Статья в формате PDF

277 KB

мегаполис

миграции

товарооборот

карантин

многофакторность

1. Пал Д., Гхош Д., Сантра П.К., Махапатра Г.С. Математический анализ модели эпидемии COVID-19 с использованием данных эпидемиологических параметров болезней, распространенных в Индии // Биофизика. 2022. Т. 67, № 2. С. 301-318.

2. Weiss H. The SIR model and the Foundations of Public Health // MATerials MATemàtics. 2013. Vol. 2013, No. 3. P. 1-17.

3. Getz W.M., Dougherty E.R. Discrete Stochastic Analogs of Erlang Epidemic Models // Journal of Biological Dynamics. 2018. Vol. 12. P. 16-38.

4. Чанг С., Пирсон Э., Кох П.В., Джерардин Дж., Редберд Б., Груски Д., Лесковец Дж. Модели сетей мобильности COVID-19 объясняют неравенство и информируют о повторном открытии // Природа. 2021. № 589 (7840). С. 82–87.

5. Де-Леон Х., Педерива Ф. Моделирование распространения коронавирусной болезни частицами (COVID-19) // Физика жидкостей. 2020. Т. 32 (8). С. 087113-087117.

6. Адам Д. Специальный отчет: моделирование, определяющее реакцию мира на COVID-19 // Природа. 2020. Vol. 580 (7803). С. 316–318.

7. Li R., Pei S., Chen B., et at. Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2) // Science. 2020. Vol. 368(6490). P. 489-493. DOI: 10.1126/science.abb3221.

8. Баталин Р.М., Терлецкий В.А. Оптимальное управление в моделях эпидемий трансмиссивных заболеваний с SEI-SEIR системами // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2015. Т. 14. С. 18–30.

9. Driessche P. Reproduction numbers of infectious disease models. Infectious Disease Modelling. 2017. Vol. 2. P. 288-303.

10. Liu Y., Gayle A. A., Wilder-Smith A., Rocklöv J. The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus // Journal of Travel Medicine. 2020. Vol. 27, No. 2. Р. taaa021. DOI: 10.1093/jtm/taaa021.

11. Chin A., Chu J., Perera M., Hui K., Yen H.-L. Stability of SARS-CoV-2 in different environmental conditions. The Lancet Microbe. 2020. P. 20036673-20036676. DOI:10.1101/2020.03.15.20036673.

Модель распространения коронавируса построена в [1], однако с привязкой к данным по Индии. В [2] используется SIR-модель, в [3] для построения модели используют стохастические аналоги, в [4] – сети мобильности, в [5] используется модель распространения частицами. Применяются также другие подходы [6].

Данные о числе тестированных, заболевших COVID-19 и погибших от вируса, сильно варьируются вследствие 1) малого охвата числа тестированных, 2) неверной диагностики, которая не фиксирует наличие коронавируса у погибших от других причин, 3) наличия множества бессимптомных носителей вируса. Данные университета Хопкинса и ВОЗ существенно разнятся, многие случаи заражения не документируются, что способствует ускорению распространения вируса [7]. В то же время пандемия COVID-19 – уникальна, возникла впервые. Нет возможностей сравнивать, соответственно, и прогнозировать что-либо с указанием каких-либо дат. Кроме того, распространение эпидемии зависит от климата, COVID-19 разрушается от воздействия солнечного ультрафиолета, высокая температура также для него неблагоприятна, поэтому сравнение различных стран и частей стран с разными погодными условиями не вполне корректно. Анализ пандемии осложняется множественностью параметров, возрастной зависимостью заболеваемости.

Для изучения эволюции эпидемий используют SEI−SEIR-модели с возрастной структурой, построенные на основе популяционной модели Маккендрика – фон Ферстера. В зависимости от свойств болезни, в дифференциальных системах, которые описывают динамику распространения инфекции, используются различные наборы популяционных групп. В SEI-моделях общее количество индивидов в популяции делится на три класса: количество восприимчивых к болезни, количество зараженных, которые еще не являются заразными, и количество зараженных и способных к передаче инфекции. В SEIR-моделях добавляется в рассмотрение класс иммунных к болезни индивидов. Отличие SI−SIR-моделей от SEI−SEIR заключается в том, что в первых элиминируется из рассмотрения класс людей, которые заразились, но еще не являются заразными. Это удобно в случае, когда инкубационным периодом патогена можно пренебречь [8]. Рассматриваются также модели с возрастной зависимостью эпидемий. Вместе с тем отмечается, что репродуктивность COVID-19 превышает обычную репродуктивность коронавирусов [9; 10]. Все перечисленные модели построены из статистических данных без опоры на физические факторы распространения. Ввиду этого необходимо выстроить реалистичную математическую модель.

Двухмесячная статистика

Сравним скорость распространения эпидемии в различных странах на двухмесячной стадии ее эволюции. Число зараженных в сутки:

США, 08.04.2020 – 1700, 19.04.2020 – 28 тыс.; Великобритания, 20.04.2020 – 5525;

Россия – 19.04.2020 – 6060; Франция, 20.04.2020 – 3824; Турция, 20.04.2020 – 3783; Испания, 14.04.2020 – 4100 (3045), 15.04.2020 – 5092, 20.04.2020 – 3577; Италия, 20.04.2020 – 3491; подробнее для Германии: 11.04.2020 – 4133, 19.04.202 – 2700, 20.04.2020 – 1775.

Отсюда видим, как влияет разная степень изоляции заболевших на их общую численность: в США, Испании режим самоизоляции долгое время игнорировался, в России введен с опозданием, в Германии соблюдался жесткий режим.

С другой стороны, рассмотрим такой параметр, как смертность на 15.04.2020 (все данные взяты из официальной статистики Минздрава РФ).

Данные по численности населения округлены до одного знака после запятой, т.е. в Калифорнии – 39,5 млн; в Швеции 10,1 млн.

Как видно из таблицы 1, из тех стран, где действуют строгие правила самоизоляции, по крайней мере в 6 странах Европы смертность на душу населения с COVID-19 выше, чем в Швеции, несмотря на то что в Швеции эти правила менее жесткие, ниже будет видно, почему.

Наконец, картина эпидемии зависит от уровня медицинского обслуживания.

По состоянию на 13.04.2020 в 5 штатах США введен жесткий карантин, но система здравоохранения имеет серьезные недостатки, поэтому смертность от COVID-19 на душу населения выше, чем в Швеции, что и показывает таблица 2.

Необходимо также учитывать объемы и своевременность тестирования.

Как видим из таблицы 3, во Франции, Италии, США на 5-6 тестов выявляется один заболевший. В РФ на выявление одного заболевшего – 87 тестов. На 17.04.2020 соотношение меньше, 53, в США – 5,0. В то же время развитие эпидемии в России на 17.04.2020 – в самом начале.

Плотность населения

Распространение вируса также напрямую зависит от числа контактов в единицу времени.

Сравнивая данные таблицы 4 с показателями заболеваемости, легко можем видеть корреляции. Сверхвысокая плотность населения и в Нидерландах, в Бельгии, которые постепенно охватывает пандемия, так, в Бельгии порядка 37 тыс. выявленных случаев заражения. Плотность населения Мурманска выше, чем в Перми, Пермь – 1318, Мурманск – 1894, число заболевших COVID-19 – тоже выше: на 20.04.2020 в Пермском крае 198, в Мурманской области – 314.

Таблица 1

Число летальных исходов от заражения COVID-19 на душу населения, %

Таблица 2

Число летальных исходов от заражения COVID-19 по штатам США на душу населения, %

Таблица 3

Объемы тестирования по странам

Таблица 4

Плотность населения: число жителей на 1 км2

Таблица 5

Число погибших и зараженных COVID-19 по странам мира

Отличие России на двухмесячной стадии развития эпидемии – в максимальной сосредоточенности эпидемии в московском мегаполисе, что обусловлено чрезмерной централизацией ресурсов в столице и отчасти протяженностью страны. Таким образом, пандемия – следствие урбанизации до уровня мегаполисов.

Сопоставим данные на 19.04.2020 о числе погибших от коронавируса и данные о числе зараженных в первых 10 странах по числу летальных исходов.

(На 22.04.2020 Нидерланды – 34,1 тыс. заразившихся, 3,9 тыс. погибших, 225 на 1 млн; Турция – 98,7 тыс., 2,4 тыс. и 29).

За 4 суток картина распределения летальных исходов в сравнении с таблицей 1 существенно изменилась, что отражает разную степень карантина и различный уровень медицинского облуживания в разных странах.

До 20.04.2020 и число зараженных, и число заражений в сутки, и число погибших от COVID-19 в Москве примерно вдвое выше, чем в России. Численность ее населения – примерно 12 млн чел. Число погибших достигло 200, т.е. 200/12 = 16,7 смерти на 1 миллион населения, что в 7 раз выше среднего.

Основной фактор

Наиболее благоприятная для COVID-19 температура +4 градуса, она сохраняет целостным вирус в течение 14 дней. При благоприятных условиях время «жизни» SARS-CoV-2 – 48 часов. На бумаге вирус разрушается за 3 часа, то на банкнотах (есть жировые пятна) за 4 дня, на дереве и одежде за 2 дня, на стекле за 4 дня, на металле и пластике за 7 дней. На внутреннем слое использованной маски за 7 дней, а на внешней поверхности маски сохраняется более 7 дней. Данные соответствуют +22°С и влажности ~65%. Тестирование производилось ПЦР-тестом, т.е. указано время, необходимое для деактивации вируса, для его полного разрушения до уничтожения всех его копий РНК [11]. То есть вирус активен на перемещаемых товарах в течение нескольких суток.

Выделим страны, которые являются наиболее крупными очагами заражения, и сопоставим с их импортом из Китая: ЕС – 615,14 млрд долл., рост за год – 9,9%. США – 555,12 млрд, рост 6.6%. Япония 312,44 млрд, рост – 0%. Южная Корея, 290,48 млрд, рост 5,9%. РФ – 95,28 млрд, рост 6,8%.

Италия: Китай – 2-й партнер по импорту. 8,4%, после Германии – 14,7%.

Германия: Китай второй год подряд стал важнейшим торговым партнером Германии – торговый оборот (экспорт и импорт) между этими странами составил 186,6 млрд евро.

Иран: импорт из Китая – 17,4%, из Германии – 11,6%, из Южной Кореи – 6,3%, из Италии – 4,2%.

Россия, 10-е место – 110,75 млрд долл., рост 3,4%.

ЕС, США, Япония, Южная Корея – главные торговые партнеры Китая.

Испания – вторична, главные партнеры по импорту: Германия – 14,5%, Франция 11,1%, Италия – 7,4%, Китай – 6,2%.

Вторична и Франция, главные партнеры по импорту: Германия – 18,5%, Италия – 7,9%, Испания – 7,1%, США – 5,2%, Китай – 5,1%. Аналогично вторична Великобритания, как торговый сателлит США.

Швеция с малым числом заболевших, отсутствием карантина – вне зоны евро, поэтому на двухмесячной стадии развития эпидемии заболеваемость в стране ниже.

В С.-Петербурге, который отмечен малым числом заболевших, плотность населения составляет 77% от плотности населения Москвы (3847,52). Но Москва является значительно более крупным торговым и транспортным узлом.

Отсюда видно, что объем торговли является главным фактором, переносчиком инфекции являются импортируемые товары. Таким образом, данная пандемия – следствие процесса глобализации.

Модель

В [1] в уравнениях, описывающих эволюцию эпидемии, прирост числа инфицированных N пропорционален числу инфицированных, что соотносится с уравнением Мальтуса.

К числу инфицированных нужно добавить число пересекающих границу инфицированных в единицу времени m. Аппроксимируем эволюцию числа заразившихся M теми, кто пересек границу, законом Мальтуса, тогда . Примем, что скорость увеличения числа инфицированных пропорциональна объему импортируемых товаров V и плотности населения D. Будем считать средний объем доступного импорта неизменным: .

Поскольку в Италии – вторая волна, в Германии благодаря карантину и хорошей медицине эпидемия идет на спад, в других странах, где эпидемия стала развиваться позже, данных недостаточно, удобнее выбрать для оценки данные роста скорости распространения эпидемии именно в Китае.

25-го января в Китае было 1300 зараженных, 27-го – свыше 3000. По данным на 3 февраля, число заразившихся коронавирусом в Китае превысило 17 200 чел., за неделю число зараженных увеличилось почти впятеро. На 9 февраля – 37 000 зараженных. Видим, что рост числа зараженных – возрастающая функция (от времени t в днях и заболевших y в тысячах), приблизительно вида N = 4 + 0,6t2.

Аналогичная зависимость наблюдалась и в России: 2 апреля за сутки заразилось 778 чел., 8-го – 1175, 9-го – 1459, 10-го – 1786, 12-го – 2000 (скорее всего, 2150), 13-го – 2558, 16-го – 3500.

За неделю скорость заражения примерно удваивалась, с определенного момента данные по России позволяют говорить о переходе от квадратичной зависимости к кубической. Таким образом, без нарушения общности можно представить число инфицированных в виде степенного ряда, ограничившись его первыми членами: N = a0 + a1t + a2t2 + a3t3. Выпишем уравнение Мальтуса и его решение, которое разлагается в степенной ряд:

Объединяя все элементы воедино, в простейшей модели получаем глобализационное уравнение развития эпидемии:

где k1 – мальтузианский параметр, k3 – интегральный коэффициент, характеризующий время активности патогена на усредненном товаре, среднее время перевозки, вероятность заражения при контакте с товаром и вероятность зараженности товара, k2,k4 – константы.

Из уравнения видно, что фактор притока через границу зараженных играет даже большую роль, чем мальтузианский фактор, ввиду дополнительного увеличения со временем mt.

На 5-м месяце развития эпидемии рост числа заболевших COVID-19 в США, где на 15.05.2020 – 1,4 млн заболевших, 30.05.2020 – 1,76, 15.06.2020 – 2, 16, 30.06.2020 – 2,62, 15.07.2020 – 3,47, 20.07.2020 – 3,77, хорошо укладывается на кривую (2) (при const = 0), поскольку карантинные меры в США ослаблены.

Ввиду того что товарооборот и миграцию между странами, находящимися на разных стадиях эволюции эпидемии, в условиях глобализации элиминировать невозможно, характер распространения эпидемии должен носить волнообразный характер: от спада к нарастанию с затухающей амплитудой.

Выводы

Из вышеизложенного следует, что к срочным мерам, необходимым для ограничения глобализационной эпидемии, относятся:

1) прекращение импорта из стран-очагов эпидемии;

2) всеобъемлющая проверка пересекающих границу и их принудительная изоляция;

3) ограничение перемещения по территории.

Библиографическая ссылка